При анализе сложных цепей во избежание ошибок имеет смысл формализовать порядок составления уравнений Кирхгофа, выполняя его не по схеме цепи, а по ее упрощенному аналогу – топологическому графу.

Прежде уточним понятие ветви. Ветвью называют набор последовательно соединенных источников и приемников электрической энергии, имеющий два зажима для присоединения к другим участкам цепи. В качестве приемников рассматриваем лишь элементы r. Таким образом ветвь удобно рассматривать в виде обобщенного элемента цепи.

Рис. 2.2,б

Различают ветви с источниками напряжения – тип 1 и ветви с источниками тока – тип 2. Ветвь первого типа на рис. 2.2,a содержит в общем случае m сопротивлений и n источников напряжений. Используя формулы (1.1) – (1.4), можно объединить элементы и перейти к канонической схеме, содержащей минимум элементов и представленной справа на рис. 2.2,а, где

Ветвь второго типа не содержит несколько источников тока, что отмечалось ранее, но может включать набор сопротивлений (рис. 2.2,б). Используя формулу (1.1), целесообразно перейти к канонической схеме, где

Очевидно, что сопротивление ветви второго типа определяется только бесконечно большим сопротивлением источника тока J_k, сопротивление других ветвей не изменяет значение тока в ней. Следовательно, каноническая ветвь данного типа содержит только один источник тока. Переход от реальной схемы электрической цепи к эквивалентной, где каждая ветвь заменена на каноническую, не изменяет значений токов в ветвях и напряжений между узлами.

Обратимся к законам электрической цепи в общей формулировке.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся в любом узле, или сечении равна нулю –

Под сечением понимают любую замкнутую поверхность, рассекающую схему электрической цепи на две части: внешнюю по отношению к поверхности и внутреннюю. Его изображают в виде следа замкнутой поверхности, охватывающей часть схемы, включающей один или несколько узлов. Сечение обобщает понятие узла.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений для любого замкнутого контура равна нулю –

Уравнения равновесия цепи, определяемые формулами (2.4) и (2.5), являются тождественными равенствами, справедливыми для любого момента времени.

Число и вид уравнений, которые следует составить для полного описания физических процессов в цепи, в первую очередь для определения токов и напряжений, зависят от способа соединения ветвей цепи и от их типа. Структуру цепи, определяемую способом соединения ветвей, будем анализировать, абстрагируясь от содержания каждой ветви: вместо схемы цепи исследуют ее топологический граф. При изображении ветвей графа целесообразно различать, какой тип ветви она заменяет. В пособии принято первый тип ветви изображать ветвью графа в виде сплошной линии (прямой или кривой), а для ветви второго типа, в которой значение тока определяется самим источником тока, в виде пунктирной линии. Ветви графа N_В и узлы N_У нумеруют в соответствии с номeрами ветвей схемы и узлов исходной цепи. Ориентация ветвей графа также должна соответствовать выбранным направлениям токов и напряжений исходной цепи. Так для канонической ветви первого типа (рис. 2.2,а) ток и напряжение выбираются всегда совпадающими по направлению, соответственно с этим направлением ориентируется и ветвь графа. Если эта ветвь содержит только источник напряжения, то она называется вырожденной и ее ориентация в графе производится по напряжению источника и направляется против действия ЭДС. Для ветви второго типа ветвь графа ориентируется по направлению действия источника тока.

Анализ топологического графа начинается выделением ветвей дерева графа N_Д и ветвей связи N_С. Ветви дерева образуют связный подграф, объединяющий все узлы, но не создают ни одного замкнутого контура. Выбор ветвей дерева произволен, но в него не включаются ветви графа, замещающие источники тока.

Ветви связи являются дополнением к ветвям дерева. Присоединение очередной ветви связи к ветвям дерева образует замкнутый контур, который называется главным контуром. В дальнейшем ветви дерева отмечаем на графе двойной линией, ветви связи – одинарной.

Число независимых уравнений N₁, составленных по первому закону Кирхгофа, соответствует числу ветвей дерева N_Д, т.е. определяется числом узлов без единицы:

Последний по номеру узел считается зависимым узлом, для него уравнение по первому закону Кирхгофа не составляется и в систему уравнений не включается. Правило знаков для токов в уравнениях (2.4), произвольно; будем полагать токи, приходящие в узел отрицательными, а выходящие из него – положительными.

Число уравнений N₂, которые следует добавить по второму закону Кирхгофа, определяется соотношением

где N _Н =(N _В - N_J) – число ветвей с неизвестными токами, N_J – число ветвей с известными источниками тока. Уравнения равновесия записываются для системы главных контуров. Каждый главный контур образуется присоединением очередной ветви связи к ветвям дерева. Правило обхода контура согласуется с направлением ветви связи, входящей в контур. В систему главных контуров не включают ветви, замещающие источники тока.

К системе, состоящей из N_Н = (N₁+ N₂) добавляются уравнения, связывающие ток и напряжение в каждой отдельной ветви. Такие уравнения называются компонентными уравнениями, о них речь пойдет в следующем параграфе.

Изложенная методика позволяет составить правильную совместную систему уравнений для анализа цепей любой сложности.