Ранее было показано, что физические процессы, связанные с движением энергии в электрической цепи, описываются уравнениями равновесия, записанными по законам Кирхгофа. Определение токов и напряжений в ветвях и элементах может быть поставлено в виде прямой или обратной задач. В зависимости от ситуации стратегия их решения может быть различной.

Прямая задача предполагает заданными параметры источников энергии e, E, j, J и элементов r, L, C электрической цепи. Требуется найти токи и напряжения всех ветвей. В частном случае, при расчете цепей постоянного тока с источниками напряжения и тока E, J требуется только значение сопротивлений r, R. В других случаях, с источниками, напряжения и токи которых изменяются во времени, решение прямой задачи будет рассмотрено далее. В этом параграфе анализируются только цепи постоянного тока.

Прямая задача решается составлением и решением системы алгебраических уравнений. Как было показано, такая задача имеет единственное решение.

В электрической цепи, схема которой изображена на рис. 3.1 определить токи во всех ветвях. Параметры элементов: r₁ = 5[Ом], E₁ = 40[B], E₂ = 20[B], r₃ = 5[Ом], r₄ = 20[Ом], E₄ = 10[B], r₅ = 10[Ом], r₆ = 20[Ом], J₆ = 3[A].

Рис. 3.1

Воспользуемся системой уравнений (2.3), ранее составленной по схеме на рис. 2.1,б

Запишем систему уравнений в матричной форме и перенесем ток I₆ = J₆ в правую часть равенства

Подставляем значения сопротивлений, ЭДС и тока источников

Решая систему уравнений, получаем значения токов: I₁ = 3,882[A], I₂ = 1,058[A] I₃ = 2,823[A], I₄ = 0,1764[A], I₅ = 4,058[A]. В пятом разделе пособия показана последовательность решения системы линейных уравнений на ПЭВМ.

В электрической цепи рис. 2.3,а определить все токи и напряжения ветвей, полагая: Е₁ = 1[В]; Е₂ = 5[В]; Е₄ = 9[В]; J₃ = 3[A]; J₆ = 6[A]; r₁ = 1[Ом]; r₄ = 2[Ом]; r₅ = 3[Ом].

Задача сформулирована как прямая, следовательно она имеет единственное решение. Его можно выполнить двумя способами. Первый способ заключается в решении системы уравнений цепи (2.8) при подстановке в них компонентных уравнений в форме (2.11). При этом система сводится к четырем неизвестным токам, а заданные значения токов и ЭДС источников переносятся в правую часть системы:

- I₁ - I₂ = - J₆,

-I₂ - I₄ = J₃, I₁ + I₅ = J₆,

- r₁I₁ + r₄I₄+ r₅ I₅ = - E₁- E₂ + E₄ .

Для решения этой системы на ПЭВМ следует переписать ее в матричной форме

и подставить заданные значения:

Решая систему, находим токи: I₁ = 3,5[A]; I₂ = 2,5[A]; I₄ = - 0,5[A]; I₅=2,5[A]. Знак минус у тока I₄ означает, что его действительное направление противоположно выбранному. Изменять знак тока на обратный до полного решения задачи не следует: это может привести к неверным результатам.

Подставляя полученные токи в компонентные уравнения (2.11), найдем напряжения ветвей: U₁ = 2,5[B]; U₂ = 5[B]; U₄ = 10[B]; U₅ = 7,5[B]. Подстановка найденных значений токов и напряжений в систему (2.8) приводит к тождественным равенствам, что подтверждает правильность решения задачи.

Однако не следует смешивать напряжения ветвей с напряжениями на резистивных элементах этих ветвей, которые можно определить по закону Ома:

U_r1= r₁I₁ = 3,5 [В]; U_r4 = r₄ I₄ = 1 [В]; U_r5 = r₅ I₅ = 7,5 [В].

Второй способ решения предполагает подстановку компонентных уравнений (2.12) в систему (2.8) и решение ее относительно трех напряжений. Cистема (2.8) включает четыре уравнения. Целесообразно сократить число уравнений до трех так, чтобы исключить из системы ток I₂, который невозможно выразить через напряжение второй ветви. Это можно сделать, суммируя первое и второе уравнения. Тогда система примет вид

Подставив в нее выражения (2.8), получаем систему для трех неизвестных напряжений U₁, U₄ и U₅ :

где g₁ = 1/r₁, g₄ = 1/r₄, g₅ = 1/r₅ проводимости ветвей в [См]. Подставив численные значения и переписав систему в матричной форме, получим

Решая систему, находим: U₁ = 2,5[B]; U₄ = - 10[B]; U₅ = 7,5[B].

Подставив найденные напряжения в выражения (2.12), получим токи: I₁ = 3,5[A]; I₄ = - 0,5[A]; I₅ = 2,5[A]. Ток I₂ вычисляем как алгебраическую сумму токов: I₂ = I₄ + J₃ = 2,5[A].

Задача решена.