Если в электрической цепи действуют источники энергии, ЭДС и ток которых изменяется по гармоническому закону

e_k(t) = E_mk S in(w t + y _ek); J_k(t) = J_mk Sin(w t + y _jk ),

то токи и напряжения на всех участках этой цепи будут гармоническими функциями:

i_k(t) = I_mk Sin(w t + y _ik); u_k(t) = U_mk Sin(w t + y _uk),

где k – номер ветви или элемента. Далее будем полагать, что все источники одной цепи действуют с равной угловой частотой w .

Законы Кирхгофа справедливы для любых цепей и воздействий, в том числе и для цепей синусоидального тока:

К примеру, определяя для схемы на рис. 4.1,а, токи и напряжения, следует составить два уравнения:

i = i₁+ i₂ = I_m1 Sin(w t + y _i1) + I_m2 Sin(w t + y _i2);

u_L = u_r + u_c = U_mr Sin(w t + y _ur ) + U_mc Sin(w t +y _uc).

Операции с гармоническими функциями в задачах электротехники принципиально проще выполнять, представив их комплексными числами. Такой метод называется символическим или методом комплексных чисел.

В этом методе уравнения (4.1) и (4.2) принимают вид

где I_mk и U_mk комплексные амплитуды токов и напряжений.

Переход от мгновенных значений к комплексным амплитудам производится следующим образом:

u = U_m Sin(w t + y _u ) соответствует U_m = U_me^{jy u},

где I_m и U_m – комплексные числа, записанные в полярной (показательной) форме и сохраняющие информацию об амплитуде и начальной фазе соответствующей синусоидальной функции. Эти числа представляют на комплексной плоскости в виде векторов. Набор векторов, относящихся к данной задаче, образуют векторную диаграмму. На диаграмме комплексные амплитуды токов и напряжений предпочтительно изображать вместе, используя разные масштабы.

Обратный переход от комплексных амплитуд величин к их мгновенным значениям осуществляется по формулам:

где Jm – операция выделения мнимой части комплексной функции.

Переход от схемы анализируемой цепи к комплексной схеме замещения производится на основании таблицы 4.1, где сопротивление каждого элемента заменяется соответствующим комплексным числом:

r – сопротивление резистивного элемента или участка цепи;

jx_L = j(w L) – сопротивление индуктивного элемента;

- jx_c = - j/(w C) = 1/(jw C) – сопротивление емкостного элемента.

В этих соотношениях размерность сопротивления [Ом], индуктивности [Гн] и емкости [Ф].

Возможно использование обратных величин- проводимостей:

g = 1/r – проводимость резистивного элемента или участка цепи;

- jb_L = - j/(w L) = 1/(jw L) – проводимость индуктивного элемента;

jb_C = j(w C) – проводимость емкостного элемента.

Размерность проводимости – сименс [Cм].

В комплексных числах символом j обозначена мнимая единица:

j = e ^j90° ; j² = - 1.

Умножение вектора на ± j, поворачивает этот вектор на угол ± 90° на комплексной плоскости.

Таблица 4.1

Комплексная схема замещения составляется с помощью таблицы 4.1 и анализируется на основании алгебраических уравнений (4.3) и (4.4) т.е. формально решается задача расчета цепи постоянного тока в последовательности ранее детально обоснованной. Отличие лишь в том, что во всех соотношениях вместо E, U, I, r, g будут фигурировать комплексные числа E_m, U_m, I_m, r, jx_L, – jx_c, g, – jb_L, jb_c.