Схема электрической цепи и ее комплексная схема замещения изображены на рис. 4.1,а, 4.1,б. В последней сопротивления элементов и ток источника представлены комплексными числами. Зависимые и независимые переменные связаны системой уравнений

I_m1 + I_m2 = J_m,

U_mr+ U_mc - U_mL = 0,

где токи и напряжения, согласно закона Ома,

После подстановки этих соотношений в систему получаем

I_m1 + I_m2= J_m ,

Рис. 4.1

4.1. Электрическая цепь и ее схема замещения представлены на рис. 4.1,а,б. Параметры: r = 100[Ом]; L = 10[мГн]; C = 1[мкФ], ток источника J(t) = 1,2Sin(10000t – 45⁰)[A]. Определить комплексные амплитуды токов и напряжений; изобразить их векторной диаграммой на комплексной плоскости.

Определяем комплексы сопротивлений и амплитуду тока источника

x_L = w L = 10^{4 .} 10 ^. 10^-3 = 100 [Ом] соответствует z_L = j100,

x_c = 1/w C = 10⁶/(10^{4 .} 1) = 100 [Ом] соответствует z_C = - j100,

J(t) = 1,2Sin(10000t – 45⁰) [A] соответствует J_m = I_m = 1,2e^-j45° .

и подставляем их в систему уравнений (4.7). Для вычисления сопротивлений в [Ом] в расчетные соотношения следует подставлять индуктивности в генри [Гн], а емкости в фарадах [Ф].

I_m1 + I_m2 =1,2e^-j45° ,

(100 – j100) I_m1 - j100 I_m2=0.

Полученная алгебраическая система уравнений может быть решена на ПЭВМ или вручную. Комплексные амплитуды искомых токов:

I_m1 = 1,2e^j45° [A]; I_m2 = 1,697e^-j90° [A].

Комплексные амплитуды напряжений на отдельных участках цепи находим на основании выражений (4.6):

U_mr = 120e^j45° [В]; U_mc = 120e^-j45° [В]; U_mL = 169,7[В].

На рис. 4.2 изображены диаграммы токов и напряжений.

Рис. 4.2

Для каждой должен быть указан свой масштаб. Диаграммы могут быть совмещены для оценки фазовых соотношений между векторами и соответствующими им гармоническими функциями.

Рассмотрим иной путь решения задачи 4.1, не требующий составления системы уравнений.

Элементы средней и правой ветвей на схеме рис. 4.1,в имеют значения:

z₁ = r₁ - jx_c = 100 - j100[Ом] и z₂ = jx_L = j100[Ом].

Ветви соединены параллельно; их общее сопротивление равно.

Располагая комплексным сопротивлением z, упрощаем схему: на рис. 4.1,г исходная цепь, не содержащая источников энергии, представлена пассивным двухполюсником.

U_m = U_m1 = U_m2 = I_m z = 1,2e^-j45° . 100Ц 2 e ^j45° = 169,7[B].

Возвращаясь к схеме на рис. 4.1,а, находим токи в средней и правой ветвях

Проверим правильность расчета, используя правило обратной пропорции: значения токов в параллельных ветвях обратно-пропорциональны сопротивлениям этих ветвей –

Значения токов совпадают с полученным ранее решением системы уравнений.

Возможна постановка обратной задачи по расчету цепи синусоидального тока. Далее рассмотрен такой пример.

4.2. Для электрической цепи рис. 4.3,а известна синусоидальная функция тока в емкости i_c= 6Sin(1000t + 30° )[А] и параметры r = 20[Oм], C = 100[мкФ]. Определить комплексные амплитуды токов в ветвях цепи и напряжений на ее элементах.

Решение задачи начинаем с определения комплексных параметров элементов и, обращаясь к таблице 4.1, создаем на рис 4.3,б схему замещения.

Рис.4.3

x_c = 1/w C = 10⁶/10^{3 .}10² = 10[Oм] - j10,

i_c = 6Sin(1000t + 30° )[А] ё I_mc = 6e^j30° .

Решение обратной задачи производится так же, как и в цепях постоянного тока шаг за шагом использованием закона Ома и законов Кирхгофа, записанных в комплексной форме (4.3) и (4.4).

а.Определяем комплексную амплитуду напряжения на емкости

U_mc = - jx_c I_mc = - j10 ^. 6e ^j30° = 60e^-j60° [B].

Это напряжение приложено и к резистивному элементу и определяет комплексную амплитуду ЭДС источника E_m= U_mr = U_mc.

б. По закону Ома находим ток в резистивном элементе цепи

I_mr = U_mr /r = 3e^-j60° [A].

в. По первому закону Кирхгофа (4.4) определяем ток источника

I_m= I_mr+ I_mc = 3e^-j60° + 6e^j30° = 6,708e^j3,435° [A].

Суммирование токов показано на векторной диаграмме, приведенной на рис. 4.4, где изображены и вектора напряжений.

Рис. 4.4

Задача решена.