4.3 Используя результаты решения задачи 4.1, определить действующие значения токов и напряжений, активную и реактивную мощность в цепи.

Действующие значения определяем по формулам (4.8):

I = 1,2/ = 0,8485[A], I₁ = 1,2/=0,8485[A], I₂ = 1,697/ = 1,2[A],

U_L = 169,7/ = 120[B], U_r = 120/ = 84,85[B], U_c= 120/= 84,85[B].

На схеме рис.4.1.a имеет место единственный резистивный элемент, который рассеивает активную мощность. Ее можно определить по одной из формул (4.9)

P = r I₁² = 100 ^. (0,8485)² = 72 [Вт].

Воспользуемся и более общей формулой, рассматривая всю цепь как двухполюсник по отношению к источнику питания:

P = U I Cosj = U_L I cos(y _uL – y _i) = 120 ^. 0,8485 ^. Cos(45° )=72[Вт].

Результаты расчета совпадают.

Для определения реактивной мощности используем формулы (4.10).

Как и ранее, можно определить эту мощность отдельно для индуктивности и для емкости, затем алгебраически суммировать результаты:

Рассматривая цепь как двухполюсник, найдем мощность Q иначе:

Q = U I Sinj = U_L I Sin(y _uL – y _i) = 120 ^. 0,8485 ^.Sin(45° ) = 72 [BAp].

Результаты совпадают и задача решена.

4.4. Используя результаты решения задачи 4.2, записать мгновенное значение тока i_r(t) и построить график этой функции.

Воспользовавшись формулой (4.5), запишем

i_r(t) = Jm{I_me^j(w t + y i)} = Jm{3e^j(1000t – 60° )} = 3Sin(1000t – 60° )[A].

Рис. 4.6

На рис. 4.6 изображён график синусоидальной функции тока в резистивном элементе. Ее смещение вправо относительно начала координат обусловлено отрицательным значением начальной фазы y _i = - 60° .

Задача решена.

4.5. Для цепи (рис. 4.7,а), подключённой к источнику напряжения e(t) с частотой f, известны показание вольтметра U₂ = 50[B] и значения сопротивлений r₁ = 10[Ом], r₂ = 40[Ом], x_c1 = 40[Ом], x_c2 = 10[Ом].

Необходимо определить следующие значения величин.

а. Показание амперметра А.

б. Показания вольтметров V₁ и V.

в. Показание ваттметра W.

г. Угол сдвига фаз между током I и напряжением U₁ .

д. Угол сдвига фаз между напряжениями U и U₁ .

Рис. 4.7

Решение задачи начинаем с составления комплексной схемы замещения на рис. 4.7,б. Амперметр и вольтметры заменяем идеальными моделями: R_A® 0, R_V ® 0. Аналогично исключаем влияние обмоток ваттметра: сопротивление обмотки тока R_I ® 0, сопротивление обмотки напряжения R_U ® 0. На схеме замещения указывам положительные направления тока и напряжений подлежащих определению. В решении будем оперировать действующими значениями величин: приборы градуированы и измеряют именно эти значения. Начальные фазы токов и напряжений могут быть определены относительно начальной фазы любой величины. В данной задаче выбираем в качестве исходной начальную фазу y _u2 напряжения U₂ и полагаем её равной нулю:

y _u2 = 0, U₂ = U₂e^{iy u}2 = 50eⁱ0 = 50[B].

Комплексные сопротивления емкостей

- jx_c1 = - j40 [Ом], - jx_c2 = - j10 [Ом].

Задачу решаем как обратную рядом последовательных шагов.

а. По закону Ома для участка цепи определяем комплекс действующего значения тока

Амперметр показывает значение равное модулю комплекса тока

I = | I | = 1,21 [A].

б. По закону Ома определяем напряжение U₁

U₁ = U₁e^{jy u} = Z₁ I = (r_{1 -} jx_c1) I = (10 - j40) ^. 1,21e^j14° =

41,e^{–j76° .} 1,21e^j14 ° = 50e^–j62° [B].

Вольтметр V₁ измеряет модуль комплексного числа U₁= | U₁ | =50[B].

Напряжение U определяем по второму закону Кирхгофа как сумму напряжений

U = U₁ + U₂ = 50 + 50e^{–j62 °} = 50(1 + Cos62° ^- jSin62° ) =

= 50(1+ 0,469 ^- j0,829) = 50 ^. 1,714e^–j31° = 85,7e^–j31° [B].

Вольтметр V измеряет модуль этого значения U =| U |= 85,7[B].

Предлагаем обратить внимание на следующее. Определяя напряжение U, мы суммировали комплексы напряжений U₁ и U₂, а не показания вольтметров V₁ и V₂.

в. Ваттметр определяет значение мощности, которую вычисляем по формуле

P = U I Cosj = 85,7 ^. 1,21 ^. Cos(- 45° ) = 73,54 [Вт],

где j = y _u - y _i = - 31° - 14° = - 45° .

Аналогичный результат получим, суммируя мощности, рассеиваемые в элементах r₁ и r_{2 -}

P = P₁+ P₂ = r₁ I² + r₂ I² = (r₁ + r₂) I² = 50 ^. (1,21)² = 73,32 [Bт].

г. Угол сдвига фаз между током I и напряжением U₁ находим как разность аргументов соответствующих комплексных чисел

j ₁ = y _u1 - y _i = - 62° - 14° = - 76° ,

т.е. ток опережает по фазе напряжение U₁ на 76° . Это же значение соответствует аргументу сопротивления Z₁ = 41,2e ^{– j76°} [Ом].

д. Угол сдвига фаз между напряжениями U и U₁ определим как разность аргументов соответствующих комплексных чисел

y ₂ = y _u - y _u1 = - 31° + 62° = 31° .

Рис.4.8

Векторная диаграмма токов и напряжений, вычисленных в данной задаче, представлена на рис. 4.8, где указаны фазовые соотношения величин.

Задача решена.

4.6. Схема электрической цепи представлена на рис. 4.9. Ее параметры: e₁(t) = 5Sin1000t [B], e₂(t) = 4Ц 2 Sin(1000t + 45° )[B], j(t) = 3Sin(1000t + 90° )[A], r₁ = r₃ = 1[Ом], r₂ = r₄ = 2[Ом], C = 500[мкФ],

L₁ = 3[мГн], L₂ = 2[мГн]. Определить комплексы амплитудных значений токов во всех ветвях цепи.

Рисуем схему замещения (рис. 4.10), используя таблицей 4.1. В схеме четыре узла N_У = 4, шесть ветвей N_B = 6, одна ветвь содержит источник тока N_J = 1. Во всех ветвях, кроме одной, указываем положительные направления токов и нумеруем их I_m1 ё I_m6; ток I_m6 направляем по действию источника тока. По первому закону Кирхгофа составляем три уравнения

N₁ = N_У - 1 = 4 - 1 = 3 для узлов 1, 2 и 3. По второму закону Кирхгофа составляем два уравнения N₂ = N_В - N_J - (N_У - 1) = 6 - 1 - (4 - 1) = 2 для контуров к₁ и к₂ не содержащих ветвь с источником тока.

Получаем систему из пяти уравнений

Определяем сопротивления элементов

x_L1 = w L₁ = 1000 ^. 0,003 = 30[Ом], x_L2 = w L₂ = 1000 ^. 0,002 = 2[Ом],

x_С = 1/(w C) = 1/(w C) = 1/(1000 ^.500 ^.10^-6) = 2[Ом].

Представляем их и гармонические функции трех источников комплексными числами

jx_L1 = j3[Ом], jx_L2 = j2[Ом], – jx_C = – j2[Ом], r₁ = r₃ = 1[Ом],

r₂ = r₄ = 2[Ом], E_m1 = 5[B], E_m2 = 4Ц 2 e^j45° = (4+j4)[B], J_m= 3e^j90° = j3[A].

Подставив значения величин в систему уравнений, записываем последние в матричной форме

I_m3 = 1,288e^-j0,631° [A], I_m4 = 1,925e^-j64,9° [A], I_m5 = 1,794e^j74,7° [A].

В пятом разделе пособия показана последовательность использования ПЭВМ для решения системы линейных уравнений.

4.7. В последовательной r,L цепи (рис. 4.11,а) известны показания вольтметров U₁ = 100[B], U₂ = 150[B], сопротивление r = 10[Ом] и частота источника питания f = 50[Гц]. Определить показание третьего вольтметра U[B] и индуктивность элемента L[Гн].

Рис.4.11

4.8. Определить показания приборов в цепи (рис. 4.11,б). Известно показание первого амперметра I₁ = 1[A] и параметры элементов:

r₁ = 100[Ом], r₂ = 200[Ом], L = 0,276[Гн], f = 100[Гц].